Natural de São Mateus, na ilha açoriana do Pico, Arquimínio Rodrigues da Costa foi bispo de Macau e do então padroado do Oriente de 1976 a 1988, ano em que foi substituído por Domingos Lam, que se tornou, por sua vez, no primeiro bispo de etnia chinesa do então enclave português.
O funeral realiza-se em São Mateus com uma missa presidida pelo bispo de Angra, João Lavrador.
Arquimínio Rodrigues da Costa, bispo emérito de Macau, que enveredou pela igreja por influência dos pais, ingressou, com 25 anos, no seminário de S. José em Macau, onde completou os seus estudos eclesiásticos em 1949.
Sete anos depois regressou à ilha do Pico para passar férias com a família e, um ano mais tarde, rumou a Roma para frequentar o curso de direito canónico na Pontifícia Universidade Gregoriana, que concluiu em 1959, de acordo com o portal Igreja Açores.
De regresso a Macau, retomou as suas funções e foi designado professor, passando três anos depois a exercer o cargo de reitor.
Durante o período em que se realizou o Concílio Vaticano II, com a ausência do prelado diocesano de Macau, Arquimínio Rodrigues da Costa foi nomeado governador do bispado em 29 de Agosto de 1963 e depois em 1965.
No ano seguinte estalou a Revolução Cultural chinesa, impulsionada por Mao-Tsé Tung, altura em que a igreja viveu tempos conturbados, levando mesmo alunos e professores do seminário a irem para Hong Kong.
Só em 1976 foi nomeado definitivamente bispo de Macau pelo papa Paulo VI, sucedendo ao também açoriano Paulo José Tavares.
Aquando da celebração das suas bodas de diamante sacerdotais, em 2009, como recorda o portal Igreja Açores, Arquimínio Rodrigues da Costa fez um balanço do período “difícil” que permaneceu em Macau durante o qual serviu “duas comunidades culturalmente heterogéneas: a portuguesa e a chinesa”.
Em Outubro de 1988, o religioso viu o seu pedido de resignação à diocese de Macau ser aceite pelo papa João Paulo II.
Um mês depois, Arquimínio Rodrigues da Costa foi condecorado pelo então Presidente da República Portuguesa, Mário Soares, com o grau de Grã-Cruz da Ordem de Mérito.
Arquimínio Rodrigues da Costa vivia desde Janeiro de 1989 na sua terra natal.
Em 2012, foi distinguido com a Insígnia Autonómica de Reconhecimento, a segunda mais importante condecoração dos Açores.